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概括
本文基于模型和Hull-White模型，采用并行建模的验证方法，选取业务中的真实交易实例，对具有赎回权或回售权的债券进行估值验证，实证检验其可行性和有效性这种方法。 准确性。 结果表明，虽然该方法的结果与中债估值和实际交易价格存在一定误差，但误差方向与经济意义一致，揭示了债券嵌套期权的价值与中债估值相互印证。 具有回售权或回购权的债券的交易发展和估值计量具有一定的参考意义。
关键词
带有权利和债务的 模型 Hull-White 模型
介绍
（一）基本背景
附权债券是指除产生利息收入外，在债券条款中还包含期权条款的债券。 在权利方面，一般分为可赎回债券和可回售债券。 可赎回债券是指发行人有权以事先约定的价格（赎回价格）购回其发行的未到期债券的一类含权债券。 可以看作是债券和看涨期权的组合，相当于投资者买入该债券时，卖出标的物为该债券的看涨期权，因此其价格低于无权下的债券相同的条件。 当未来利率下降时，发行人可以行使赎回权，因为它提供了利率下降的保护。 与可回售债券不同，投资者购买债券的同时购买标的债券的看跌期权。 当未来利率上升时，投资者有权以预先约定的价格将债券提前出售给发行人，为其提供利率上升的保护，因此其价格高于未加权的价格条件相同的债券。
权益类债券对于丰富债券市场品种具有重要意义，能够为发行人和投资者提供有效的利率风险对冲。 1917年，美国开始发行具有可赎回权的债券。 我国银行间债券市场始于21世纪初的附权债券。 2001年，国家开发银行（以下简称“国开行”）发行了第一只含权债券。 此后10年，国开行共发行26只含权债。 次，总发行规模4853.9亿元。 2022年6月22日，国开行时隔10年再次发行附权债券。 2019年2月20日，广东省在深圳证券交易所（以下简称“深交所”）成功发行全国首单配权地方政府债券，累计发行规模416亿元。 据Wind数据显示，截至2022年10月末，境内银行间债券市场有股本债券数量达5697只，余额85941.01亿元。 其中，可赎回债券1801只，余额55885.25亿元； 可回售债券3895只，余额30055.76亿元。
（二）研究意义
股权债具有“进可攻、退可守”的优势。 当前市场整体处于低利率环境，可回售债券的投资价值更加凸显。 但债权附权条款复杂、个性化，增加了准确估值的难度，也带来了较高的投资门槛。 实践中，机构投资者一般直接采用外部估值或使用内部资金交易系统的结果。 但是，除了中债估值提供的方法论较为完备外，其他一般都是“黑箱”模型，难以完全穿透和还原具体的构造。 因此，自主研究和掌握带权债的估值和定价是机构的内生需求。
随着数字化转型的不断深入，监管也对机构模型的自主可控性提出明确要求，如银保监会《关于银行保险业数字化转型的指导意见》（银保监会印发）银监会〔2022〕2号）提出建立模型和算法风险综合管理框架，确保模型的可解释性和可审计性； 模型管理的核心环节应独立可控，对于实施资本计量高级方法的商业银行，更需要监管 验证风险价值体系中的单一产品定价和估值模型，掌握模型定价方法避免因“定价黑匣子”造成的损失。 根据《商业银行资本管理办法（试行）》（中国银监会令2012年第1号），商业银行应根据模型开发文件逐项推导不同产品的定价模型，并评估其准确性和理性； 通过自行建模、并行计算或提取第三方机构公布的定价数据进行核算，确保模型的准确性。
总的来说，对于专业机构投资者而言，无论是前台的实际交易，还是中后台的估值定价、损益计量和模型验证，自主掌控股权债券估值模型都具有重要意义。后台。
估值方法概述
含权债券的本质是债券和利率衍生品的结合。 债券的估值比较简单，可以直接使用息票贴现法。 贴现率考虑了发行人的信用风险因素。 部分利率衍生品估值构成重大难点，具体体现在：利率衍生品的种类和组合多种多样，有的单独包含看跌权或赎回权，也有包含看跌权+赎回权的、赎回权有欧式期权、美式期权，甚至还有百慕大期权； 嵌入期权衍生工具使附权债券的到期日或行权后利息不确定例如，卖出权行使后，赎回权自动消失，因此估值时必须将权利作为一个整体来考虑。
利率衍生品的估值方法在理论上分为解析法和数值法。 前者包括一般的BS模型、利率衍生品的Black模型等，后者包括二叉树方法、蒙特卡洛模拟和有限差分方程。 由于债券涉及利率价格的模拟，单因素均衡模型（模型、Cox和Ross模型等）、双因素均衡模型（Heath和模型）和无套利模型（Ho-Lee模型、可以使用 Hull-White 模型等）。 型号等）。
文献方面，He（1977）率先研究了债权定价，假设短期利率服从随机游走而不考虑信用风险，比较了不同债权的价格关系。 J., O. 和 Frank J. (1993) 引入了一种一般的附权债务估值方法，并使用二叉树模型对可赎回债券进行定价。 主要方法是计算期权调整利差（OAS），利用利差对嵌入期权债券的收益率进行调整，比较分析普通债券和嵌入期权债券的价值，进而计算赎回价值期权，并分析债券价格对市场利率的敏感性。 (1995)采用有限差分对百慕大期权债券进行定价，认为该方法误差较大，不适合实际投资。 (2001)提出了柳树法来替代标准的二叉树和三叉树，并认为柳树法在计算效率上优于标准的二叉树和三叉树。 这种方法目前也被主流的市场风险管理系统提供商ALGO所采用。 国内文献多采用二叉树法进行定价研究。 例如，郑振龙和康超峰（2006）基于BDT模型，使用二叉树模型分析了国开行可赎回和可回售债券的定价。 Cheng Hao and He Rui (2021)基于OAS和Black模型两种方法，分别考察了嵌入“回售权+票面权调整”条款的债券定价，得出更推荐OAS法的结论。 此外，2020年12月，中债金融估值中心发布了《含投资者回售权和发行人调整票面利率选择权的付息固定利率债券估值方法》，详细披露了内嵌“回售” -back right + 中债“平息调整”条款债券的估值方法主要根据远期利率走势判断行权可能性，具体过程是先计算预期均衡票面利率，然后比较预期均衡票面利率与约定的可调整票面利率区间，判断是否行使期权并推荐长期或短期估值，最后根据贴现现金流模型按推荐方向进行估值。
柳树模型
（一）基本方法论
本文将借鉴ALGO的思想，基于柳树模型方法本身，采用并行建模的方法对具有赎回权或回售权的债券估值进行建模。 主要考虑是嵌入在含权债务中的期权具有很强的路径依赖关系。 传统的二叉树或三叉树数值方法，前期节点太少，误差大，后期节点太多，会产生大量冗余计算。 柳树法可以有效避免这个缺点。 该方法使用离散马尔可夫链来近似布朗运动。 通过选择合适的转移矩阵，保证马尔可夫链收敛于布朗运动，柳树会从第一个时间步开始快速打开。 ，在随后的时间步长中，整棵树都被限制在正态分布的可靠性范围内。 与二叉树和三叉树相比，理论上它具有计算速度更快、更准确、更稳定的优点。
(2)建模步骤
构建柳树模型的具体步骤如下：
首先将正态分布分成n个节点，给每个节点分配一个正态变量Z1、Z2。 ． ． Zn，用来表示它的区间，对应的概率是q1，q2，。 ． ． qn.make
当n→∞，hj→0时，Yti收敛于布朗运动。 求出满足条件的转移矩阵pij，表示从状态i变为状态j的概率，即求解如下优化问题：
Xi:i=1,2,3。 ． ． } 是一个非时间对称的马尔可夫链并且有 {1, 2. ． ． n}个状态，定义一个随机过程{Yti:ti ≥ 0}：当Xi处于状态k时，
对于每个时间步k，求解上述优化问题得到对应的转移矩阵。 本文通过代码完成了这个过程，柳树最终的造型如图1所示。
图中的柳树有10个时间步，每个步有12个节点，对应12个正态变量Zi。
赫尔-怀特模型
上面的柳树模型完成了布朗运动的近似模拟。 基于柳树模型，可以对更复杂的随机过程进行建模。 下一步是对短期利率建模。 目前比较主流的是Hull-White单因素无套利均衡模型（1990）。 该模型是模型 (1977) 的扩展。 有关当前利率期限结构的信息。
(1) 构建初始利率树
假设短期利率服从Hull-White单因素无套利均衡模型：
其中，a和σ为常数，分别代表均值回归常数和利率波动率。 为了更方便的构建利率树，首先对上式进行变换，使得
并满足以下关系：
制作
并订购
结合上面构造的柳树，初始利率树可以构造如下：
上式表示时间步长为t时第k个节点的短期利率。
(2) 标定利率树
上面对Hull-White模型进行了改造，构建了初始利率树。 现在需要根据当前市场利率期限结构对构建的利率树进行标定，即求式(2)中的α(t)。 校准方法是利用利率树对面值为1、不同期限的零息债券进行估值，调整α(t)，使零息债券通过利率树的估值结果一致与市场价格。 具体步骤如下：
零息债券的市场价格可以根据相应的当前市场贴现曲线和信用利差曲线，通过贴现现金流量公式计算：
其中，rd和rs是在相应的贴现曲线和信用利差曲线上进行线性插值得到的。 对于每个有权利的债务，贴现曲线和信用利差曲线。
然后利用利率树计算每个时间步的贴现因子，可以得到初始点的α(0)为
得到α(0)和df(t0,t1)后，根据式(7)中的定义和式(6)中各时间步的计算结果，采用迭代法逐步得到后面的时间步α (t), 由当前市场利率的期限结构标定的利率树各节点的最终利率值
(3) 利用标定利率树对债权进行估值
至此，得到了标定的利率树，对担保债权进行估值的步骤是从利率树的最后一个时间步即担保债权的到期日开始递归，通过公式（8）：
其中V(T,i)=+，到期日价值等于含权债券本金加上最后一期利息； 对于每个付息日时间节点，V值等于式(8)计算的值加上本期利息； 对于行权日，将公式（8）计算得到的值与附权债券条款中规定的赎回价格和回购价格K进行比较，即如果是可回售债券，则V值行权日V=max(K, V)，如果是可赎回债券，则权日V=min(K, V)。
得到V(1,i)后，可通过式(9)计算出当前估值点的有权利债券的价格。
债务估值测试
基于上述柳树模型和Hull-White模型，本文使用代码实现模型构建和估值过程，并从现有的有权利的债券中随机选择2只可赎回债券和2只可回售债券进行估值。 中债估值是目前最重要的实际交易参考价格。 因此，本文将分别基于模型和Hull-White模型的含权债估值结果与中债估值和实际市场交易价格（为估值日实际市场加权平均价）进行比较日成交价）进行对比，论证模型估值的实用性和合理性。
四只债券的基本情况如表1所示，其中两只可回售债券拥有发行人调整票面利率的权利。
在构建柳树模型的过程中，时间步长过长会导致时间步长过少，模型收敛精度差，时间步长过短会导致计算效率显着下降。 因此，根据所选债券的剩余期限，我们将时间步长设置为30天，所有行权日期分别设置为1个时间步长，因此上述可赎回债券的时间步长为87个1、上述可赎回债券2有71个时间步长，上述可赎回债券Bond 1共有55个时间步长，可回售债券2共有59个时间步长。 每个时间步有12个节点，对应12个正态变量。
用于可回售债券 1 估值的柳树如图 2 所示。
对于Hull-White单因子模型，我们根据经验设置均值回归常数为0.001，波动率参考估值日利率波动面（用于利率上下限等利率期权）设置为0.005下限和利率掉期期权）。 表 2 为四只债券的估值结果、中债估值和实际交易价格。
结果表明，对于可赎回债券，该模型估计了中等债券估值。 出现这种现象的原因是模型估值更全面、更全面地考虑了含权债券的嵌套期权价值，导致对发行人有利的可赎回债券的模型估值小于含权债券的估值。中债、有利于投资者的价值 可回售债券模型的估值高于中债。 市场实际成交价格介于模型估值和中债估值之间，更接近中债估值，这意味着大部分交易者仍以中债估值作为真实交易的依据，附加期权价值较小。 从最终结果的误差来看，模型估值结果与中债估值与真实交易价格的误差在0.5%以内。 误差的来源主要是嵌套期权价值的测量。 因此，笔者认为，通过该模型进行估值，能够更全面地衡量附权债权嵌套期权的价值，对实际交易具有参考价值。
作者在模型中进一步测试了估值结果对每个时间步长的节点数的敏感性。 将模型每个时间步的节点数增加到30个，比较四种债券估值结果的差异。 结果如表3所示。
从结果可以看出，在保留小数点后2位精度的前提下，节点数12和30的估计结果几乎一致，说明当节点数设置为12时，柳树模型已经可以得到收敛的结果，柳树模型的收敛速度更快且稳定。 该模型是对两种最重要的利率衍生品赎回权和回售权的估值模型。 如果含权债包含其他特殊权利，也可以在此模型的基础上适当扩展。
综上所述
本文使用柳树模型和赫尔-怀特模型对具有赎回权或回售权的债券进行并行建模。 通过与中债估值和债券市场真实交易价格对比发现，模型结果与中债估值一致，与实际交易价格存在0.5%的误差，主要是因为模型结果更全面地衡量了价值权债嵌套期权的价值，但总体误差在可控范围内，可以直观地得到模型结果与中债估值的对比。结果的准确性。 同时，柳树模型的重要参数，如节点间的传递矩阵等，只需求解一次，并可存储起来，以备日后重复使用。 因此，使用该模型对债权进行评估更为方便，只需要根据当前市场利率的期限结构计算价值 存储树进行标定，以备评估。 柳树模型还具有良好的可扩展性，可以进一步推广到其他股权衍生品的估值和定价。 总体而言，该模型具有衔接性好、操作方便、适用性广等优点，可为机构投资者开展权益债业务提供有效参考。
参考
[1] 程浩,何锐． 嵌入“转售权+调整平价权”条款的债券市场定价与投资机会[J]． 债券，2018（5）。
[2] 陈志豪． 附权债券估值与定价研究[D]． 上海: 上海交通大学, 2018.
[3] M, P. Trees[J]. 算法, 2001, 4(4).
◇本文首发于《邦德》2023年4月号
◇ 作者：中国邮政储蓄银行风险管理部王赞文、傅鹏佳、赵景元
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